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Irrationale Zahlen > Was ist eine Irrationale Zahl?

Was ist eine Irrationale Zahl?


Jeder rationalen Zahl entspricht ein Punkt auf der Zahlengeraden. Es stellt sich aber die Frage, ob auch jeder Punkt der Zahlengeraden einer bestimmten rationalen Zahl entspricht, d.h. Ob bei dieser Zuordnung keine Lücken auf der Zahlengeraden bleiben. Man kann auf einfache Weise zeigen, dass es mindestens einen Punkt auf der Zahlengeraden gibt, der keiner rationalen Zahl entspricht.


Dazu errichtet man auf der Zahlengeraden ein Quadrat der Seitenlänge 1. Bezeichnet man die Länge der Diagonalen dieses Quadrats mit x, so gilt nach dem Lehrsatz des Pythagoras:

 




Einerseits lässt sich x auf der Zahlengeraden festlegen, andererseits gibt es aber keine rationale Zahl, welche die Bedingung x zum Quadrat gleich 2 erfüllt. Auf ähnliche Weise lässt sich zeigen, dass es außer dieser „Lücke“ auf der Zahlengeraden noch unendlich viele andere Lücken gibt.