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Lösen von Gleichungen 3. und höheren Grades mit Polynomdivision


Nicht jede Gleichung höheren Grades kann mit Hilfe der bisher erlernten Methoden gelöst werden. Bei Gleichungen 3. und höheren Grades kann es notwendig werden, das Verfahren der Polynomdivision anzuwenden.


Eine Möglichkeit, alle Lösungen der hier vorliegenden Gleichung zu berechnen, bietet das Verfahren der Polynomdivision.


Hinweis: Wenn nicht alle Potenzen von x auftreten, so sollte man sie mit dem Faktor 0 für die Polynomdivision ergänzen:

 


Beispiele



1 Schritt: Raten

Um das Verfahren der Polynomdivision anwenden zu können, benötigt man eine erste Lösung der Gleichung.Wenn diese Lösung nicht bekannt ist, versucht man diese Lösung durch Raten zu finden. Zum Raten geeignet sind ganzzahlige Teiler des Summanden ohne x. Hier also -1,+1,-2,+2, usw. Diese Zahlen werden in die Gleichung eingesetzt. Wenn sich beim Einsetzen Null ergibt, hat man die erste Lösung gefunden und kann mit dem 2 Schritt fortsetzen.


2 Schritt: Ansatz für Polynomdivision mit dem Linearfaktor (x-2) notieren.

Das Ergebnis des Ratens als Linearfaktor (x-2) schreiben.

Dieser Linearfaktor entsteht aus der gefundenen Lösung, indem man x=2 Null setzt bzw. auf beiden Seiten der Gleichung x=2 die Zahl 2 subtrahiert.



3 Schritt: 1. Division


4 Schritt: 1. Multiplikation


5 Schritt: 1. Subtraktion


6 Schritt: 2. Division


7 Schritt: 2. Multiplikation


8 Schritt: 2. Subtraktion


9 Schritt: 3. Division


10 Schritt: 3. Multiplikation


11 Schritt: 3. Subtraktion




12 Schritt: Ergebnis mit der p-q-Formel lösen



Aufgaben

Bestimme zu folgenden Gleichungen die Lösungsmenge:

Lösungen